在婚姻关系存续期间，一方与他人发生婚外情并生育子女，这种情况下的私生子抚养费问题通常涉及到非婚生子女的抚养权和抚养费问题，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，不直接抚养非婚生子女的一方，应当负担子女的生活费和教育费，直至子女能够独立生活为止，婚内出轨所生的私生子同样享有获得抚养费的权利。

建议参考：

在处理此类问题时，建议当事人首先通过协商解决抚养费问题，如果协商不成，可以向人民法院提起诉讼，请求判决非婚生子女的抚养权归属和抚养费的支付问题，在诉讼过程中，法院会综合考虑多种因素，如子女的年龄、健康状况、双方的经济状况、子女的意愿（适用于一定年龄以上的子女）等，来决定抚养费的数额和支付方式。

相关法条：

《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条规定：“非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何人不得加以危害和歧视，不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。”

小编总结：

婚内出轨所生的私生子在法律上享有与婚生子女同等的权利，包括获得抚养费的权利，在实际操作中，当事人可以通过协商或诉讼的方式解决抚养费问题，如果选择诉讼，法院将依据具体情况判决抚养费的数额和支付方式，在处理此类敏感问题时，建议当事人寻求专业律师的帮助，以确保自己的合法权益得到妥善保护。