一、连续签订三次固定劳动合同后第四次能要求签订无固定期吗

在连续签署三次劳动合同时，并不意味着必须签订无固定期限的合同。

根据现行《劳动合同法》的相关规定，仅需员工与所在单位签订了两次固定期限劳动合同之后，就可在第三次签订合同时向所服务的单位提出签订无固定期限劳动合同的请求。

若然，雇主决定继续聘用该员工时，务必应允其请求；假如员工坚持选择签订固定期限的劳动合同，亦属合法合理。

需要注意的是：

（1）在同一用人单位连续工作已达十年以上；

（2）用人单位首次实施劳动合同制度或国有企业在进行改革重订劳动合同时，员工在相同单位连续工作满十年，并且距法定退休年龄尚差十年的。

《劳动合同法》第14条第3款规定：用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。

二、跟着项目跑然后没签劳动合同背调能查到吗

关于未签署劳动合同的问题，我们可以通过多种途径进行查询。

如通过查阅个人社会保险费交纳情况、查询委员会的裁决书等方式来确认是否已签订相关的劳动合同。

在此，我强烈建议您在正式开始工作之前，务必与雇佣方签订合法的劳动合同并妥善保存该份合同文件。

以防止在某些未知的纠纷中缺乏必要的证据支持自身权益。

依照《劳动合同法》中的相关规定，用人单位和劳动者之间应该签订书面形式的劳动合同。