员工没有辞职可以申请劳动仲裁。

根据《中华人民共和国劳动法》规定，用人单位应当依法与劳动者订立书面劳动合同。劳动合同自双方当事人约定的日期起生效。用人单位应当将劳动合同备案。

如果用人单位未依法与劳动者订立书面劳动合同，或者订立的书面劳动合同不符合法律规定的，应当依法支付劳动者工资报酬，并按照国家规定向劳动者缴纳社会保险费。

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》规定，劳动者与用人单位发生劳动争议，可以向劳动争议调解委员会申请调解；调解不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。

因此，如果劳动者未被辞退但用人单位未依法与其订立书面劳动合同，或者订立的书面劳动合同不符合法律规定，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，并要求用人单位依法与其订立书面劳动合同。