法律解析：

私自收养的孩子打疫苗可以通过正规的途径进行，如前往当地的预防接种门诊。

首先需要明确的是，私自收养孩子这种行为可能存在一定的法律风险和不确定性。在处理孩子打疫苗的问题时，应该尽快采取合法的措施来解决孩子的身份和收养手续问题。

如果暂时还未能完成合法收养手续，为了孩子的健康，可以先带孩子前往居住地所在的社区卫生服务中心或乡镇卫生院的预防接种门诊。在接种时，需要如实向工作人员说明孩子的情况，包括收养的现状等。通常情况下，只要孩子身体健康，符合接种疫苗的基本条件，是可以正常进行接种的。

从长远来看，私自收养孩子不利于孩子的权益保障和未来发展。建议尽快按照相关法律规定，办理合法的收养手续，使孩子的身份和权益得到明确和保障。这样不仅有利于孩子在教育、医疗等方面获得平等的机会和待遇，也能避免日后可能出现的法律问题和纠纷。

同时，社会也应该加强对收养行为的规范和管理，提供必要的支持和指导，帮助那些有收养意愿的家庭通过合法途径收养孩子，为孩子创造一个稳定、健康的成长环境。总之，私自收养孩子打疫苗虽然可以暂时通过常规途径进行，但更重要的是要尽快使收养行为合法化，以保障孩子的全面权益。

法律依据：

《中华人民共和国民法典》 第一千一百零五条

收养应当向县级以上人民政府民政部门登记。收养关系自登记之日起成立。收养查找不到生父母的未成年人的，办理登记的民政部门应当在登记前予以公告。收养关系当事人愿意签订收养协议的，可以签订收养协议。收养关系当事人各方或者一方要求办理收养公证的，应当办理收养公证。县级以上人民政府民政部门应当依法进行收养评估。